Judul Materi : Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi)
Pertemuan : Pertemuan ke-15
CAPAIAN PEMBELAJARAN :
Pada akhir fase D, peserta didik mampu melakukan dan menganalisis transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) pada bidang koordinat Kartesius serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah kontekstual.
TUJUAN PEMBELAJARAN :
Tujuan dari kegiatan pembelajaran yang dilakukan yaitu:
Peserta didik dapat memahami konsep perubahan posisi, pencerminan, perputaran, serta perubahan ukuran objek pada bidang Kartesius serta menentukan koordinat bayangannya secara akurat.
Mindful (Berkesadaran) : Peserta didik secara sadar dapat mengamati dan memahami keteraturan pola perubahan koordinat titik dan bangun datar melalui aturan translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.
Meaningful (Bermakna) : Peserta didik mengaitkan materi transformasi geometri dalam kehidupan nyata sehari-hari, seperti prinsip kerja cermin datar, navigasi peta/GPS, pola arsitektur, hingga animasi grafis digital.
Joyful (Menyenangkan) : Peserta didik melakukan aktivitas permainan interaktif (games-based learning) berupa tebak koordinat bayangan dan eksplorasi alat peraga visual.
ALUR TUJUAN PEMBELAJARAN :
Tahap 1: Pemahaman Konsep Spasial
Peserta didik menganalisis secara mendalam bagaimana suatu objek berpindah posisi, bergeser, dicerminkan, diputar, atau diubah ukurannya menggunakan pendekatan visual pada bidang koordinat Kartesius.
Tahap 2: Penerapan Prosedural untuk Kasus Matematis
Peserta didik secara runtut menghitung koordinat titik bayangan menggunakan rumus matematis yang berlaku untuk masing-masing jenis transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi).
Tahap 3: Analisis Keterkaitan Kontekstual
Peserta didik menghubungkan konsep perubahan bentuk dan posisi geometri dengan aplikasi nyata dalam desain grafis, fotografi, serta fenomena simetri di alam.
MATERI PEMBELAJARAN :
Assalamu'alaikum Wr.Wb.
Alhamdulillaahi robbil ‘aalamiin, wassholaatu wassalaamu ‘alaa asyroofil anbiyaa-i wal mursaliin, nabiyyinaa wahabiibinaa muhammadin, wa’ala alihi washahbihi aj’ma’iin, wa mantabi’ahum biihsanin ilaa yaumiddin, Amma ba’du.
Sebelum kita memasuki materi pembelajaran, coba kita renungi dan ingat kebesaran Allah SWT yang telah menciptakan dan memelihara kita dengan Asmaul Husna-Nya:
Al-Khaliq (Maha Menciptakan): Mencerminkan sifat Al-Khaliq yang menciptakan alam semesta beserta isinya dengan bentuk, ukuran, dan keseimbangan yang sangat presisi. Konsep Dilatasi (perubahan ukuran) dan Rotasi—seperti keteraturan perputaran planet pada orbitnya atau simetri bentuk daun dan bunga—menunjukkan betapa indahnya ciptaan Allah yang tertata dengan hukum matematika yang sempurna.
Al-Malik (Maha Memelihara/Menguasai): Aturan baku dalam Translasi dan Refleksi, di mana setiap titik berpindah dengan jarak, arah, serta hukum pergerakan yang konsisten dan patuh pada aturan koordinat, melambangkan keadilan dan ketetapan mutlak sistem Allah yang teratur dan tidak pernah salah.
Al-Razaq (Maha Pemberi Rezeki): Sifat Allah yang Maha Merancang bentuk rupa segala sesuatu. Konsep Refleksi (pencerminan) mengajarkan kita untuk senantiasa bercermin, mengevaluasi diri (muhasabah), serta memperbaiki amal perbuatan agar senantiasa berada pada jalur yang lurus dan diridhai-Nya.
Dalam matematika, Transformasi Geometri adalah perubahan posisi, arah, atau ukuran dari suatu objek (titik, garis, atau bidang) pada koordinat Kartesius.
Judul Materi : Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi)
Pertemuan : Pertemuan ke-14
CAPAIAN PEMBELAJARAN :
Pada akhir fase D, peserta didik mampu melakukan dan menganalisis transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) pada bidang koordinat Kartesius serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah kontekstual.
TUJUAN PEMBELAJARAN :
Tujuan dari kegiatan pembelajaran yang dilakukan yaitu:
Peserta didik dapat memahami konsep perubahan posisi, pencerminan, perputaran, serta perubahan ukuran objek pada bidang Kartesius serta menentukan koordinat bayangannya secara akurat.
Mindful (Berkesadaran) : Peserta didik secara sadar dapat mengamati dan memahami keteraturan pola perubahan koordinat titik dan bangun datar melalui aturan translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.
Meaningful (Bermakna) : Peserta didik mengaitkan materi transformasi geometri dalam kehidupan nyata sehari-hari, seperti prinsip kerja cermin datar, navigasi peta/GPS, pola arsitektur, hingga animasi grafis digital.
Joyful (Menyenangkan) : Peserta didik melakukan aktivitas permainan interaktif (games-based learning) berupa tebak koordinat bayangan dan eksplorasi alat peraga visual.
ALUR TUJUAN PEMBELAJARAN :
Tahap 1: Pemahaman Konsep Spasial
Peserta didik menganalisis secara mendalam bagaimana suatu objek berpindah posisi, bergeser, dicerminkan, diputar, atau diubah ukurannya menggunakan pendekatan visual pada bidang koordinat Kartesius.
Tahap 2: Penerapan Prosedural untuk Kasus Matematis
Peserta didik secara runtut menghitung koordinat titik bayangan menggunakan rumus matematis yang berlaku untuk masing-masing jenis transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi).
Tahap 3: Analisis Keterkaitan Kontekstual
Peserta didik menghubungkan konsep perubahan bentuk dan posisi geometri dengan aplikasi nyata dalam desain grafis, fotografi, serta fenomena simetri di alam.
MATERI PEMBELAJARAN :
Assalamu'alaikum Wr.Wb.
Alhamdulillaahi robbil ‘aalamiin, wassholaatu wassalaamu ‘alaa asyroofil anbiyaa-i wal mursaliin, nabiyyinaa wahabiibinaa muhammadin, wa’ala alihi washahbihi aj’ma’iin, wa mantabi’ahum biihsanin ilaa yaumiddin, Amma ba’du.
Sebelum kita memasuki materi pembelajaran, coba kita renungi dan ingat kebesaran Allah SWT yang telah menciptakan dan memelihara kita dengan Asmaul Husna-Nya:
Al-Khaliq (Maha Menciptakan): Mencerminkan sifat Al-Khaliq yang menciptakan alam semesta beserta isinya dengan bentuk, ukuran, dan keseimbangan yang sangat presisi. Konsep Dilatasi (perubahan ukuran) dan Rotasi—seperti keteraturan perputaran planet pada orbitnya atau simetri bentuk daun dan bunga—menunjukkan betapa indahnya ciptaan Allah yang tertata dengan hukum matematika yang sempurna.
Al-Malik (Maha Memelihara/Menguasai): Aturan baku dalam Translasi dan Refleksi, di mana setiap titik berpindah dengan jarak, arah, serta hukum pergerakan yang konsisten dan patuh pada aturan koordinat, melambangkan keadilan dan ketetapan mutlak sistem Allah yang teratur dan tidak pernah salah.
Al-Razaq (Maha Pemberi Rezeki): Sifat Allah yang Maha Merancang bentuk rupa segala sesuatu. Konsep Refleksi (pencerminan) mengajarkan kita untuk senantiasa bercermin, mengevaluasi diri (muhasabah), serta memperbaiki amal perbuatan agar senantiasa berada pada jalur yang lurus dan diridhai-Nya.
Dalam matematika, Transformasi Geometri adalah perubahan posisi, arah, atau ukuran dari suatu objek (titik, garis, atau bidang) pada koordinat Kartesius.
Dari kegiatan pembelajaran yang dilakukan terdapat hasil bahwa rata-rata peserta didik sudah mulai memahami materi yang disampaikan dengan melihat asesmen formatif yang dilakukan dengan metode tanya jawab dan mengerjakan soal secara berkelompok, namun ada beberapa peserta didik perlu pendampingan dalam memahami materi Transformasi Geometri (Translasi dan Refleksi), Hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat. Suasana pembelajaran efektif dan peserta didik fokus dalam mengikuti kegiatan pembelajaran.
Judul Materi : Diskriminan, Hasil Kali dan Jumlah Akar Persamaan Kuadrat
Pertemuan : Pertemuan ke12
CAPAIAN PEMBELAJARAN :
o Pada akhir fase D, Peserta didik mampu menentukan nilai diskriminan persamaan kuadrat, hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat serta menganalisis sifat-sifat grafik fungsi kuadrat.
TUJUAN PEMBELAJARAN :
Tujuan dari kegiatan pembelajaran yang dilakukan yaitu:
o Peserta didik dapat menentukan nilai diskriminan dari suatu persamaan kuadrat, hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat serta menganalisis sifat-sifat grafik fungsi kuadrat.
- Mindfull (Berkesadaran) : Peserta didik secara sadar dapat menentukan nilai diskriminan dari suatu persamaan kuadrat, hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat serta menganalisis sifat-sifat grafik fungsi kuadrat.
- Meaningfull (Bermakna) : Peserta didik mengaitkan materi diskriminan persamaan kuadrat dalam kehidupan nyata sehari-hari seperti menghitung gerak benda melengkung seperti lemparan bola dan menentukan ukuran bidang tanah agar mendapatkan luas yang maksimal.
- Joyfull (Menyenangkan) : Peserta didik melakukan aktivitas permainan/games based learning dalam menyelesaikan nilai diskriminan persamaan kuadrat.
ALUR TUJUAN PEMBELAJARAN :
o Tahap 1: Pemahaman Konsep
Peserta didik menganalisis secara mendalam mengapa konstanta tambahan yang dibutuhkan selalu senilai melalui pendekatan geometris (luas persegi dan persegi panjang) maupun analisis sifat aljabar.
o Tahap 2: Penerapan Prosedural Untuk Kasus Sederhana
Peserta didik secara runtut mengisolasi konstanta, menambahkan kedua ruas, mengubah bentuk aljabar menjadi kuadrat sempurna, serta menarik akar kuadrat.
o Tahap 3: Analisis Kaitan Konstruksi Grafik
Peserta didik menghubungkan proses melengkapi kuadrat sempurna dengan pembuktian asal-usul Rumus ABC, serta mengorelasikan bentuk kuadrat sempurna sebagai bentuk kanonis (titik puncak) fungsi kuadrat yang langsung memperlihatkan koordinat titik balik (h, k) dan sumbu simetri x = h.
Sebelum kita memasuki materi pembelajaran, coba kita renungi dan ingat kebesaran Allah SWT yang telah menciptakan dan memelihara kita dengan Asmaul Husna-Nya.
Al-Khaliq (Maha Menciptakan): Mencerminkan sifat Al-Khaliq yang menciptakan segala sesuatu menuju kesempurnaan dan bentuk terbaiknya. Penambahan nilai presisi untuk melengkapi persamaan menunjukkan bahwa Allah menciptakan alam semesta dengan komposisi yang pas; apa yang tampak "kurang" pada mulanya telah dirancang memiliki penawar atau pasangan yang tepat untuk mencapai keutuhan.
Al-Malik (Maha Memelihara): Aturan baku dalam melengkapi kuadrat sempurna, di mana setiap penambahan nilai pada ruas kiri wajib ditambahkan pada ruas kanan dengan jumlah yang sama persis demi menjaga kesepadanan (=), melambangkan hukum keadilan dan ketetapan mutlak Al-Malik. Prinsip keseimbangan ini menegaskan bahwa seluruh sistem di alam semesta berjalan di bawah kendali dan aturan-Nya yang adil, konsisten, serta tidak dapat diubah secara sepihak.
Ar-Razzaq (Maha Pemberi Rezeki): Menggambarkan sifat Ar-Razzaq yang Maha Mencukupkan kebutuhan hamba-Nya. Selain itu, tahap akhir penarikan akar kuadrat yang menghasilkan dua opsi penyelesaian melambangkan bahwa Allah selalu menyediakan lebih dari satu opsi jalan keluar dan pintu rezeki bagi manusia yang mau berikhtiar menyelesaikan persoalan hidupnya.
Dalam matematika, Diskriminan adalah suatu nilai yang menjadi penentu sifat-sifat dari akar suatu persamaan kuadrat. Dengan nilai ini, bisa menentukan apakah suatu bentuk persamaan kuadrat memiliki penyelesaian berupa akar real atau tidak.
Secara umum, diskriminan adalah suatu nilai pada persamaan kuadrat yang membedakan banyaknya akar persamaan itu sendiri. Kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Jadi, jenis akar dari persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara mengetahui nilai diskriminan.
Rumus Diskriminan
Untuk mengetahui akar-akar dari persamaan kuadrat Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 130, kalian bisa menggunakan rumus ABC.
Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 131
Nah, rumus diskriminan itu ternyata dapat ditemukan dalam rumus ABC, lho. Rumus diskriminan adalah seperti di bawah ini, dengan a, b, dan c sebagai konstanta yang bersesuaian dengan persamaan kuadrat.
D = b² – 4ac
Lalu, rumus ABC dapat juga menjadi seperti ini. kalian tahu, gak? Rumus ini dapat dipakai jika yang diketahui adalah nilai diskriminannya, lho.
Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 132
Diskriminan dalam rumus ABC menentukan jenis dari akar-akar persamaan kuadrat berupa bilangan real atau bilangan tidak real. Jenis akar-akar persamaan kuadrat Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 130 adalah sebagai berikut, guys.
Jika D < 0 atau nilai diskriminan kurang dari 0, maka akar-akarnya adalah tidak real atau imajiner. Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 134.
Jika D > 0 atau nilai diskriminan lebih dari 0, maka akar-akarnya adalah real (Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 135) dan berbeda atau berlainan (Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 136).
Jika D = 0 atau nilai diskriminan sama dengan, maka akar-akarnya adalah real (Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 135) dan sama atau kembar (Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 138).
Contoh Soal
Soal 1
Dari persamaan kuadrat Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 139, tentukan jenis akar persamaan kuadratnya!
Jawab:
D = b² – 4ac
D = Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 140
D = 25 – 24
D = 1
Diketahui nilai diskriminan adalah 1 atau D = 1 > 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar-akar real dan berlainan.
Soal 2
Persamaan kuadrat Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 141 memiliki akar-akar yang berlainan, maka tentukan nilai b!
Jawab:
Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 141
Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 143
D = Rumus Diskriminan pada Persamaan Kuadrat 144
D = b² + 4b + 4 -16
D = b² + 4b – 12
b² + 4b – 12 > 0
(b + 6)(b – 2) > 0
Jadi, b < -6 atau b > 2
Hasil Kali dan Jumlah Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Persamaan Kuadrat – Sebuah persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya sama dengan 2 (dua) sering disebut dengan persamaan kuadrat. Nilai-nilai yang dapat memenuhi persamaan kuadrat disebut sebagai akar – akar persamaan kuadrat.
Banyaknya akar-akar persamaan kuadrat ada 2 (dua) atau 1 (satu), tergantung jenis persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat yang memiliki banyak akar-akar persamaan sama dengan 2 (dua) akan menyinggung sumbu x di dua titik. Untuk persamaan kuadrat yang hanya memiliki satu akar persamaan kuadrat, grafik persamaan kuadrat akan menyinggung sumbu x (memotong sumbu x pada satu titik).
grafik fungsi kuadrat
Cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan kuadrat meliputi metode pemfaktoran bentuk aljabar, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus abc.
Pembahasan dalam persamaan kuadrat, sering mengulas jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini, nantinya dapat digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat baru dengan nilai akar-akar yang mengalami perubahan nilai.
Rumus jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memanfaatkan rumus abc.
rumus abc untuk menentukan akar persamaan kuadrat
Cara menentukan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat akan diulas melalui halaman ini. Untuk pembahasan pertama, akan diulas rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat. Simak pembahasannya pada ulasan materi di bawah.
Rumus Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat biasanya dinyatakan melalui persamaan ax2 + bx + c = 0. Persamaan tersebut memiliki dua akar-akar yang memenuhi persamaan. Melalui bentuk umum persamaan kuadrat, dapat diperoleh nilai akar-akar dalam bentuk umum. Berikut ini adalah nilai x1 dan x2 yang memenuhi bentuk umum persamaan kuadrat.
Bentuk umum akar-akar persamaan kuadrat
Sehingga, rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat
Rumus Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Cara untuk menentukan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat hampir sama dengan cara mencari jumlah akar-akarnya. Penurunan rumusnya menggunakan bentuk umum dari nilai x_{1} dan x_{2} dari bentuk umum persamaan kuadrat. Berikut ini adalah langkah-langkah penurunan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Demikianlah ulasan materi tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Berikut ini adalah rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Media pembelajaran atau alat peraga yang digunakan dalam materi Diskriminan, Hasil Kali dan Jumlah Akar-Akar Persamaan Kuadrat yaitu video pembelajaran interaktif .
ASESSMEN :
Agar kalian lebih memahami tentang Persamaan Kuadrat dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat, silahkan kalian kerjakan LKPD berikut secara berkelompok!
Petunjuk Kerjakan Soal:
1. Bacalah setiap soal dengan teliti sebelum menjawab.
2. Tuliskan langkah-langkah penyelesaian secara sistematis pada tempat yang telah disediakan.
KESIMPULAN :
Kesimpulan Materi :
Rumus diskriminan adalah seperti di bawah ini, dengan a, b, dan c sebagai konstanta yang bersesuaian dengan persamaan kuadrat.
D = b² – 4ac
Hubungan akar-akar persamaan kuadrat dengan diskriminan adalah sebagai berikut:
Jika D≥0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar real, dengan rincian:
D>0 : akar-akarnya nyata dan berlainan
D=0 : akar-akarnya sama/kembar
Jika D>0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak real atau imajiner
Kesimpulan Hasil Pembelajaran :
Dari kegiatan pembelajaran yang dilakukan terdapat hasil bahwa rata-rata peserta didik sudah mulai memahami materi yang disampaikan dengan melihat asesmen formatif yang dilakukan dengan metode tanya jawab dan mengerjakan soal secara berkelompok, namun ada beberapa peserta didik perlu pendampingan dalam memahami materi Diskriminan, Hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat. Suasana pembelajaran efektif dan peserta didik fokus dalam mengikuti kegiatan pembelajaran.
Judul Materi : Diskriminan, Hasil Kali dan Jumlah Akar Persamaan Kuadrat
Pertemuan : Pertemuan ke11
CAPAIAN PEMBELAJARAN :
o Pada akhir fase D, Peserta didik mampu menentukan nilai diskriminan persamaan kuadrat, hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat serta menganalisis sifat-sifat grafik fungsi kuadrat.
TUJUAN PEMBELAJARAN :
Tujuan dari kegiatan pembelajaran yang dilakukan yaitu:
oPeserta didik dapat menentukan nilai diskriminan dari suatu persamaan kuadrat, hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat serta menganalisis sifat-sifat grafik fungsi kuadrat.
- Mindfull (Berkesadaran) : Peserta didik secara sadar dapat menentukan nilai diskriminan dari suatu persamaan kuadrat, hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat serta menganalisis sifat-sifat grafik fungsi kuadrat.
- Meaningfull (Bermakna) : Peserta didik mengaitkan materi diskriminan persamaan kuadrat dalam kehidupan nyata sehari-hari seperti menghitung gerak benda melengkung seperti lemparan bola dan menentukan ukuran bidang tanah agar mendapatkan luas yang maksimal.
- Joyfull (Menyenangkan) : Peserta didik melakukan aktivitas permainan/games based learning dalam menyelesaikan nilai diskriminan persamaan kuadrat.
ALUR TUJUAN PEMBELAJARAN :
o Tahap 1: Pemahaman Konsep
Peserta didik menganalisis secara mendalam mengapa konstanta tambahan yang dibutuhkan selalu senilai melalui pendekatan geometris (luas persegi dan persegi panjang) maupun analisis sifat aljabar.
o Tahap 2: Penerapan Prosedural Untuk Kasus Sederhana
Peserta didik secara runtut mengisolasi konstanta, menambahkan kedua ruas, mengubah bentuk aljabar menjadi kuadrat sempurna, serta menarik akar kuadrat.
o Tahap 3: Analisis Kaitan Konstruksi Grafik
Peserta didik menghubungkan proses melengkapi kuadrat sempurna dengan pembuktian asal-usul Rumus ABC, serta mengorelasikan bentuk kuadrat sempurna sebagai bentuk kanonis (titik puncak) fungsi kuadrat yang langsung memperlihatkan koordinat titik balik (h, k) dan sumbu simetri x = h.
Sebelum kita memasuki materi pembelajaran, coba kita renungi dan ingat kebesaran Allah SWT yang telah menciptakan dan memelihara kita dengan Asmaul Husna-Nya.
Al-Khaliq (Maha Menciptakan): Mencerminkan sifat Al-Khaliq yang menciptakan segala sesuatu menuju kesempurnaan dan bentuk terbaiknya. Penambahan nilai presisi untuk melengkapi persamaan menunjukkan bahwa Allah menciptakan alam semesta dengan komposisi yang pas; apa yang tampak "kurang" pada mulanya telah dirancang memiliki penawar atau pasangan yang tepat untuk mencapai keutuhan.
Al-Malik (Maha Memelihara): Aturan baku dalam melengkapi kuadrat sempurna, di mana setiap penambahan nilai pada ruas kiri wajib ditambahkan pada ruas kanan dengan jumlah yang sama persis demi menjaga kesepadanan (=), melambangkan hukum keadilan dan ketetapan mutlak Al-Malik. Prinsip keseimbangan ini menegaskan bahwa seluruh sistem di alam semesta berjalan di bawah kendali dan aturan-Nya yang adil, konsisten, serta tidak dapat diubah secara sepihak.
Ar-Razzaq (Maha Pemberi Rezeki): Menggambarkan sifat Ar-Razzaq yang Maha Mencukupkan kebutuhan hamba-Nya. Selain itu, tahap akhir penarikan akar kuadrat yang menghasilkan dua opsi penyelesaian melambangkan bahwa Allah selalu menyediakan lebih dari satu opsi jalan keluar dan pintu rezeki bagi manusia yang mau berikhtiar menyelesaikan persoalan hidupnya.
Dalam matematika, Diskriminan adalah suatu nilai yang menjadi penentu sifat-sifat dari akar suatu persamaan kuadrat. Dengan nilai ini, bisa menentukan apakah suatu bentuk persamaan kuadrat memiliki penyelesaian berupa akar real atau tidak.
Secara umum, diskriminan adalah suatu nilai pada persamaan kuadrat yang membedakan banyaknya akar persamaan itu sendiri. Kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Jadi, jenis akar dari persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara mengetahui nilai diskriminan.
Rumus Diskriminan
Untuk mengetahui akar-akar dari persamaan kuadrat , kalian bisa menggunakan rumus ABC.
Nah, rumus diskriminan itu ternyata dapat ditemukan dalam rumus ABC, lho. Rumus diskriminan adalah seperti di bawah ini, dengan a, b, dan c sebagai konstanta yang bersesuaian dengan persamaan kuadrat.
D = b² – 4ac
Lalu, rumus ABC dapat juga menjadi seperti ini. kalian tahu, gak? Rumus ini dapat dipakai jika yang diketahui adalah nilai diskriminannya, lho.
Diskriminan dalam rumus ABC menentukan jenis dari akar-akar persamaan kuadrat berupa bilangan real atau bilangan tidak real. Jenis akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut, guys.
Jika D < 0 atau nilai diskriminan kurang dari 0, maka akar-akarnya adalah tidak real atau imajiner. .
Jika D > 0 atau nilai diskriminan lebih dari 0, maka akar-akarnya adalah real () dan berbeda atau berlainan ().
Jika D = 0 atau nilai diskriminan sama dengan, maka akar-akarnya adalah real () dan sama atau kembar ().
Contoh Soal
Soal 1
Dari persamaan kuadrat , tentukan jenis akar persamaan kuadratnya!
Jawab:
D = b² – 4ac
D =
D = 25 – 24
D = 1
Diketahui nilai diskriminan adalah 1 atau D = 1 > 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar-akar real dan berlainan.
Soal 2
Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang berlainan, maka tentukan nilai b!
Jawab:
D =
D = b² + 4b + 4 -16
D = b² + 4b – 12
b² + 4b – 12 > 0
(b + 6)(b – 2) > 0
Jadi, b < -6 atau b > 2
Hasil Kali dan Jumlah Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Persamaan Kuadrat – Sebuah persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya sama dengan 2 (dua) sering disebut dengan persamaan kuadrat. Nilai-nilai yang dapat memenuhi persamaan kuadrat disebut sebagai akar – akar persamaan kuadrat.
Banyaknya akar-akar persamaan kuadrat ada 2 (dua) atau 1 (satu), tergantung jenis persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat yang memiliki banyak akar-akar persamaan sama dengan 2 (dua) akan menyinggung sumbu x di dua titik. Untuk persamaan kuadrat yang hanya memiliki satu akar persamaan kuadrat, grafik persamaan kuadrat akan menyinggung sumbu x (memotong sumbu x pada satu titik).
Cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan kuadrat meliputi metode pemfaktoran bentuk aljabar, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus abc.
Pembahasan dalam persamaan kuadrat, sering mengulas jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini, nantinya dapat digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat baru dengan nilai akar-akar yang mengalami perubahan nilai.
Rumus jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memanfaatkan rumus abc.
Cara menentukan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat akan diulas melalui halaman ini. Untuk pembahasan pertama, akan diulas rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat. Simak pembahasannya pada ulasan materi di bawah. Rumus Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat biasanya dinyatakan melalui persamaan ax2 + bx + c = 0. Persamaan tersebut memiliki dua akar-akar yang memenuhi persamaan. Melalui bentuk umum persamaan kuadrat, dapat diperoleh nilai akar-akar dalam bentuk umum. Berikut ini adalah nilai x1 dan x2 yang memenuhi bentuk umum persamaan kuadrat.
Sehingga, rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
Rumus Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Cara untuk menentukan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat hampir sama dengan cara mencari jumlah akar-akarnya. Penurunan rumusnya menggunakan bentuk umum dari nilai dan dari bentuk umum persamaan kuadrat. Berikut ini adalah langkah-langkah penurunan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Demikianlah ulasan materi tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Berikut ini adalah rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Media pembelajaran atau alat peraga yang digunakan dalam materi Diskriminan, Hasil Kali dan Jumlah Akar-Akar Persamaan Kuadrat yaitu video pembelajaran interaktif .
ASESSMEN :
Agar kalian lebih memahami tentang Persamaan Kuadrat dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat, silahkan kalian kerjakan LKPD berikut secara berkelompok!
Petunjuk Kerjakan Soal:
1. Bacalah setiap soal dengan teliti sebelum menjawab.
2. Tuliskan langkah-langkah penyelesaian secara sistematis pada tempat yang telah disediakan.
KESIMPULAN :
Kesimpulan Materi :
Rumus diskriminan adalah seperti di bawah ini, dengan a, b, dan c sebagai konstanta yang bersesuaian dengan persamaan kuadrat.
D = b² – 4ac
Hubungan akar-akar persamaan kuadrat dengan diskriminan adalah sebagai berikut:
Jika D≥0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar real, dengan rincian:
D>0 : akar-akarnya nyata dan berlainan
D=0 : akar-akarnya sama/kembar
Jika D>0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak real atau imajiner
Kesimpulan Hasil Pembelajaran :
Dari kegiatan pembelajaran yang dilakukan terdapat hasil bahwa rata-rata peserta didik sudah mulai memahami materi yang disampaikan dengan melihat asesmen formatif yang dilakukan dengan metode tanya jawab dan mengerjakan soal secara berkelompok, namun ada beberapa peserta didik perlu pendampingan dalam memahami materi Diskriminan, Hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat. Suasana pembelajaran efektif dan peserta didik fokus dalam mengikuti kegiatan pembelajaran.
Judul Materi : Kisi-kisi dan Latihan Soal STS Ganjil (Bilangan Berpangkat, Bentuk Akar dan Persamaan Kuadrat)
Pertemuan : Pertemuan ke10
CAPAIAN PEMBELAJARAN :
o Pada akhir fase D, Peserta didik mampu melakukan operasi hitung bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta memahami penulisan notasi ilmiah, menyederhanakan rasional bilangan bentuk akar.
o Pada akhir fase D, Peserta didik mampu menentukan akar-akar persamaan kuadrat menggunakan cara faktorisasi, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus ABC serta menganalisis sifat-sifat grafik fungsi kuadrat.
TUJUAN PEMBELAJARAN :
Tujuan dari kegiatan pembelajaran yang dilakukan yaitu:
oPeserta didik dapat melakukan operasi hitung bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta memahami penulisan notasi ilmiah, menyederhanakan rasional bilangan bentuk akar.
oPeserta didik dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat menggunakan cara faktorisasi, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus ABC serta menganalisis sifat-sifat grafik fungsi kuadrat.
- Mindfull (Berkesadaran) : Peserta didik secara sadar dapat menentukan nilai diskriminan dari suatu persamaan kuadrat, hasil kali dan jumlah persamaan kuadrat serta menganalisis sifat-sifat grafik fungsi kuadrat.
- Meaningfull (Bermakna) : Peserta didik mengaitkan materi diskriminan persamaan kuadrat dalam kehidupan nyata sehari-hari seperti menghitung gerak benda melengkung seperti lemparan bola dan menentukan ukuran bidang tanah agar mendapatkan luas yang maksimal.
- Joyfull (Menyenangkan) : Peserta didik melakukan aktivitas permainan/games based learning dalam menyelesaikan nilai diskriminan persamaan kuadrat.
ALUR TUJUAN PEMBELAJARAN :
o Tahap 1: Pemahaman Konsep
Peserta didik menganalisis secara mendalam mengapa konstanta tambahan yang dibutuhkan selalu senilai melalui pendekatan geometris (luas persegi dan persegi panjang) maupun analisis sifat aljabar.
o Tahap 2: Penerapan Prosedural Untuk Kasus Sederhana
Peserta didik secara runtut mengisolasi konstanta, menambahkan kedua ruas, mengubah bentuk aljabar menjadi kuadrat sempurna, serta menarik akar kuadrat.
o Tahap 3: Analisis Kaitan Konstruksi Grafik
Peserta didik menghubungkan proses melengkapi kuadrat sempurna dengan pembuktian asal-usul Rumus ABC, serta mengorelasikan bentuk kuadrat sempurna sebagai bentuk kanonis (titik puncak) fungsi kuadrat yang langsung memperlihatkan koordinat titik balik (h, k) dan sumbu simetri x = h.
Sebelum kita memasuki materi pembelajaran, coba kita renungi dan ingat kebesaran Allah SWT yang telah menciptakan dan memelihara kita dengan Asmaul Husna-Nya.
Al-Khaliq (Maha Menciptakan): Mencerminkan sifat Al-Khaliq yang menciptakan segala sesuatu menuju kesempurnaan dan bentuk terbaiknya. Penambahan nilai presisi untuk melengkapi persamaan menunjukkan bahwa Allah menciptakan alam semesta dengan komposisi yang pas; apa yang tampak "kurang" pada mulanya telah dirancang memiliki penawar atau pasangan yang tepat untuk mencapai keutuhan.
Al-Malik (Maha Memelihara): Aturan baku dalam melengkapi kuadrat sempurna, di mana setiap penambahan nilai pada ruas kiri wajib ditambahkan pada ruas kanan dengan jumlah yang sama persis demi menjaga kesepadanan (=), melambangkan hukum keadilan dan ketetapan mutlak Al-Malik. Prinsip keseimbangan ini menegaskan bahwa seluruh sistem di alam semesta berjalan di bawah kendali dan aturan-Nya yang adil, konsisten, serta tidak dapat diubah secara sepihak.
Ar-Razzaq (Maha Pemberi Rezeki): Menggambarkan sifat Ar-Razzaq yang Maha Mencukupkan kebutuhan hamba-Nya. Selain itu, tahap akhir penarikan akar kuadrat yang menghasilkan dua opsi penyelesaian melambangkan bahwa Allah selalu menyediakan lebih dari satu opsi jalan keluar dan pintu rezeki bagi manusia yang mau berikhtiar menyelesaikan persoalan hidupnya.
A. Bilangan Berpangkat (Eksponen)
Bilangan berpangkat adalah perkalian berulang dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri.
Agar lebih jelas, silahkan kalian simak video di bawah ini:
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial (suku banyak) variabel 1 yang memiliki pangkat tertinggi dua. Ingat, ya, pangkat tertingginya dua! Jadi, kalau kamu nyariin pangkat tiga di persamaan kuadrat, ya kagak bakalan ketemu, yak.
Nah, bentuk umum persamaan kuadrat bisa dituliskan seperti berikut:
ax2 + bx + c = 0
Dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0
Keterangan:
x = variabel
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = konstanta
Dalam mempelajari persamaan kuadrat, tentunya kamu nggak akan terlepas dari yang namanya menyelesaikan persamaan kuadrat. Jadi, seperti yang udah kita tau dari bentuk umumnya, persamaan kuadrat itu punya variabel x yang nggak diketahui nilainya berapa. Nah, nilai x inilah yang mau kita cari! Cara mencari nilai x adalah dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut.
Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Ada tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan menggunakan faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus kuadratik atau biasa disebut juga sebagai rumus ABC. Kita bahas satu per satu, ya!
1. Faktorisasi
Faktorisasi atau pemfaktoran merupakan cara mencari penyelesaian dari persamaan kuadrat, dengan cara mencari nilai yangjika dikalikan, maka akan menghasilkan nilai lain.
Ada tiga bentuk persamaan kuadrat dengan faktorisasi yang berbeda, yakni seperti berikut:
No.
Persamaan Kuadrat
Faktorisasi
1
x2 + 2xy + y2 = 0
(x + y)2 = 0
2
x2 − 2xy + y2 = 0
(x − y)2 = 0
3
x2 − y2 = 0
(x + y)(x − y) = 0
Dengan x = variabel dan y = konstanta
Next, coba kita kerjakan contoh soal di bawah ini, ya!
Contoh Soal Faktorisasi
Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara faktorisasi 5x2 + 13x + 6 = 0!
Jawab:
5x2 + 13x + 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
(5x + 3)(x + 2) = 0
5x = −3
x = atau x = −2
Jadi, penyelesaiannya adalah x = atau x = −2.
2. Melengkapi kuadrat Sempurna
Bentuk ax2 + bx + c = 0 bisa kamu jabarkan menjadi seperti berikut.
(x + p)2 = q
Perhatikan contoh berikut.
Bentuk persamaan kuadrat: x2 + 5x + 6 = 0
x2 + 8x + 6 = 0
(x2 + 8x) = -6
x2 + 8x +16 = -6 +16
(x+ 4)2= 10
(x+ 4) = ± √10
x = √10 – 4 atau x = -√10 – 4
3. Rumus ABC
Rumus abc merupakan alternatif pilihan ketika persamaan kuadrat sudah tidak bisa diselesaikan dengan metode faktorisasi maupun kuadrat sempurna.
Berikut rumus formula abc pada persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0.
Berikut contoh penyelesaian soal persamaan kudrat menggunakan formula abc.
Selesaikan persamaan x2 + 4x – 12 = 0 menggunakan metode formula abc!
Dan agar kalian lebih memahami lagi tentang mencari akar-akar persamaan kuadrat, maka silahkan kalian simak Kisi-kisi soal STS Ganjil dan video berikut :
Media pembelajaran atau alat peraga yang digunakan dalam materi Persamaan Kuadrat menentukan akar-akar persamaan kuadrat menggunakan cara faktorisasi yaitu media Geogebra dan video pembelajaran interaktif .
ASESSMEN :
Agar kalian lebih memahami dan siap untuk menjawab soal STS Ganjil, maka silahkan kalian kerjakan latihan soal berikut!
Petunjuk Kerjakan Soal:
1. Bacalah setiap soal dengan teliti sebelum menjawab.
2. Tuliskan langkah-langkah penyelesaian secara sistematis pada tempat yang telah disediakan.
Kesimpulan yang dapat diambil dari pembelajaran hari ini yaitu Bilangan berpangkat adalah bentuk perkalian berulang dari suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak jumlah pangkatnya. Penulisan ini bertujuan menyederhanakan penulisan angka yang sangat besar atau sangat kecil. Bentuk umumnya ditulis sebagai \(a^{n}\), di mana a adalah basis (bilangan pokok) dan n adalah pangkat (eksponen).
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial (suku banyak) variabel 1 yang memiliki pangkat tertinggi dua.Bentuk umum persamaan kuadrat bisa dituliskan seperti berikut:
ax2 + bx + c = 0
Dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0
Keterangan:
x = variabel
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = konstanta
Demikianlah penjelasan mengenai Persamaan Kuadrat dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara faktorisasi . Intinya , dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara faktorisasi kalian harus bisa mencari faktor dari konstanta dalam persamaan kuadrat seperti contoh :
Selesaikan persamaan kuadrat ax2+ 2x – 3 dengan menggunakan faktorisasi! Jawaban: x2 + 2x – 3 = 0 (x-1) (x+3) = 0 x-1 = 0 atau x+3 = 0 x=1 atau x = -3
dan 
atau x = 
